考点综述

掌握函数表达式的求解,函数的奇偶性单调性有界性周期性等基本性质的证明与应用。

典型例题

求函数的表达式

例1

解答

总结

内层函数的值域是外层函数的定义域,进行分类讨论即可。

例2

解答

总结

这种题第一次确实不太容易想到……

不过看到n次方相加再开n次方的这种形式,可以想到最大值。以后看到这种形式就知道用夹逼了。

知道用夹逼之后还有一个问题就是最后还要写成分段函数的形式!

例3

解答

总结

$F(x)+F(\frac{x-1}{x})$可以进行一个形成闭环的代换!

该代换比较特别,应该熟练掌握!

例4

解答

总结

代换,消元的思路比较明显,最后取极限的时候消去含n的项即可。

要注意可以消去的条件:这里是因为$f(0)=0$。也有题目告诉$f(x)$有界,同样可以消去。

例5

解答

总结

抓住$\frac{\sqrt{45}-1}{2}$的特点!$x=\frac{\sqrt{45}-1}{2}$可以推出$(2x+1)^2=45$,即$x^2+x=11$。根据这个表达式可以对$f(x)$进行降次,从而消去$x$。

其实看到这种高次方的,答案无非就是0或1(-1)。

函数性质的应用

例6

解答

总结

用好奇偶性和周期性的性质就行了,确实没有什么难点。

例7

解答

总结

函数$f(x)$关于点$(a,b)$对称,表达式为$f(a-x)+f(a+x)=2b$,对称的两点相加即是中心!然后根据表达式进行配凑即可。

对于$y_1\neq y_2$的情形,还可以进一步讨论: